Nghiệm của phương trình \({\sin ^2}x + \tan x = \c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\).

Giải chi tiết:

ĐK:  \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{ & {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + \tan x{1 \over {{{\cos }^2}x}} = 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 4\tan x - 1 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^3}x + {\tan ^2}x - 3\tan x + 1 = 0 \cr} \)

Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng:

\({t^3} + {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{t = 1 \hfill \cr t = - 1 \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{\tan x = 1 \hfill \cr \tan x = - 1 \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan \left( { - 1 \pm \sqrt 2 } \right) + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Chọn D.