Với \(n\) là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng : \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức

\({a^n} - {b^n} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{n - 3}} + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}}} \right)\)

Giải chi tiết:

+) Chứng minh hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l}\left( {a - b} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{n - 3}} + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}}} \right)\\ = {a^n} + {a^{n - 1}}b + {a^{n - 2}}{b^2} + ... + {a^3}{b^{n - 3}} + {a^2}{b^{n - 2}} + a{b^{n - 1}} - \left( {{a^{n - 1}}b + {a^{n - 2}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{n - 2}} + a{b^{n - 1}} - {b^n}} \right)\\ = {a^n} - {b^n}\end{array}\)

+) Vì \(n\) là số chẵn , đặt \(n = 2k,\;\;k \in \mathbb{N}\)  ta có

\({20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 = {20^{2k}} + {16^{2k}} - {3^{2k}} - 1 = {400^k} + {256^k} - {9^k} - 1\)

Để chứng minh \(\left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;323\)  ta cần chứng minh \(\left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\;\) chia hết cho 19 và 17.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{400^k} - {1^k} = \left( {400 - 1} \right)\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.1 + {{400}^{k - 3}}{{.1}^2} + ... + {{400}^2}{{.1}^{k - 3}} + {{400.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\\ = 399.\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.1 + {{400}^{k - 3}}{{.1}^2} + ... + {{400}^2}{{.1}^{k - 3}} + {{400.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\\ = 19.21.\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.1 + {{400}^{k - 3}}{{.1}^2} + ... + {{400}^2}{{.1}^{k - 3}} + {{400.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\; \vdots \;19\\{256^k} - {9^k} = \left( {256 - 9} \right)\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.256 + {9^{k - 1}}} \right)\\ = 247.\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.256 + {9^{k - 1}}} \right)\\ = 13.19.\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.256 + {9^{k - 1}}} \right) \vdots 19\\ \Rightarrow \left( {{{400}^k} - {1^k} + {{256}^k} - {9^k}} \right)\; \vdots \;19\end{array}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\begin{array}{l}{400^k} - {9^k} = \left( {400 - 9} \right)\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.400 + {9^{k - 1}}} \right) = 17.23.\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.400 + {9^{k - 1}}} \right)\; \vdots \;17\\{256^k} - 1 = \left( {256 - 1} \right)\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.1 + ... + {{256.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right) = 17.15.\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.1 + ... + {{256.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\; \vdots \;17\\ \Rightarrow {400^k} - {9^k} + {256^k} - 1 \vdots 17\end{array}\)Như vậy ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 = \left( {{{400}^k} + {{256}^k} - {9^k} - 1} \right)\; \vdots \;19\\{20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 = \left( {{{400}^k} + {{256}^k} - {9^k} - 1} \right)\; \vdots \;17\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;\left( {19.17} \right)\\ \Rightarrow \left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;323.\end{array}\)

Như vậy ta có điều cần chứng minh.