Cho số tự nhiên\(n \ge 2\) và số nguyên tố p

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh \(n + p\) có dạng \({\left( {n + 1} \right)^2}\)

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng: Nếu \(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) thì \((a \pm b) \vdots m\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{n^3} - 1 = (n - 1)({n^2} + n + 1) \vdots p\\\left( {p - 1} \right)\; \vdots \;n \Rightarrow p - 1 \ge n \Rightarrow p \ge n + 1\end{array}\)

Vì \(p \ge n + 1 \Rightarrow \left( {n - 1} \right)\) không chia hết cho p.

Do đó: \(\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;p \Leftrightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;p\)

Đặt: \(p - 1 = kn,\;\;k \ge 1 \Rightarrow p = kn + 1\;\;\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\;\; \Rightarrow kn + 1 \le {n^2} + n + 1\\ \Leftrightarrow kn \le {n^2} + n \Leftrightarrow k \le n + 1\\k({n^2} + n + 1) - n(kn + 1)\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {(k - 1)n + k} \right]\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\\k \ge 1 \Rightarrow (k - 1)n + k > 0\\ \Rightarrow (k - 1)n + k \ge kn + 1\\ \Rightarrow k \ge n + 1\\ \Rightarrow k = n + 1 \Rightarrow p = kn + 1 = {n^2} + n + 1\\ \Rightarrow n + p = {n^2} + 2n + 1 = {(n + 1)^2}\end{array}\)

Vậy \(n + p\)  là một số chính phương.