Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và dây cung...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) 

+) Trong một đường tròn , đoạn thẳng nối trung điểm của một dây cung với tâm đương tròn vuông góc với dây cung đó.

+) Tứ giác có 2 góc đối nhau có tổng bằng \({{180}^{o}}\) thì nội tiếp đường tròn.

b)  Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nếu cùng chắn một cung thì bằng nhau

c)  Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta có \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

Giải chi tiết:

a) 

Xét đường tròn \(\left( O;R \right)\) có \(H\) là trung điểm của dây cung\(AB\)\(\Rightarrow OH\bot AB\Rightarrow \angle OHM={{90}^{o}}\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét đường tròn \(\left( O;R \right)\) có \(MD\) là tiếp tuyến \(\Rightarrow OD\bot MD\Rightarrow \angle ODM={{90}^{o}}\)(tính chất của tiếp tuyến)

Xét tứ giác \(DOHM\)có: \(\left\{ \begin{align}  & \angle OHM={{90}^{o}} \\ & \angle ODM={{90}^{o}} \\\end{align} \right.\Rightarrow \angle OHM+\angle ODM={{180}^{o}}\)

Suy ra tứ giác \(DOHM\) nội tiếp đường tròn  \(\Rightarrow D;O;H;M\) cùng thuộc một đường tròn ( đpcm).

b) 

Xét \(\Delta COM\) và \(\Delta DOM\) có

+)\(OM\) chung

+) \(\angle OCM=\angle ODM={{90}^{o}}\)

+) \(OC=OD=R\)

\(\Rightarrow \Delta COM=\Delta DOM\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông) \(\Rightarrow \angle COI=\angle IOD\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow CI=ID\Rightarrow \Delta ICD\) cân \(\Rightarrow \angle ICD=\angle IDC\)(Tính chất tam giác cân)

Xét đường tròn \(\left( O;R \right)\)có \(\angle ICD\) là góc nội tiếp chắn cung \(ID\); \(\angle IDM\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(ID\)\(\Rightarrow \angle ICD=\angle IDM\)

Mà có \(\angle ICD=\angle IDC\Rightarrow \angle IDO=\angle IDM\)

\(\Rightarrow ID\) là phân giác \(\angle ODM\)                                            (1)

Chứng minh tương tự có : \(IC\) là phân giác \(\angle MCO\) (2)

Mà có \(ID\) cắt \(IC\) tại \(I\), suy ra \(I\) là giao điểm của 3 đường phân giác trong\(\Delta MCD\). Suy ra \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta MCD\)(đpcm).

c) Ta nhận thấy \({{S}_{MFE}}=2{{S}_{MEO}}\)(do có chung đường cao\(MO\) và \(OE=\frac{1}{2}FE\))

\(\Rightarrow {{S}_{MFE}}\max \Leftrightarrow {{S}_{MEO}}\max \)

Xét \(\Delta MEO\) có: \({{S}_{MEO}}=\frac{1}{2}CO.ME=\frac{1}{2}R.\left( CE+CM \right)\)

Mà có: \(CM=\frac{CO}{\tan \left( \angle CMO \right)}=\frac{R}{\tan \left( \angle CMO \right)};CE=\frac{CO}{\tan \left( \angle CEO \right)}=\frac{R}{\tan \left( {{90}^{o}}-\angle CMO \right)}=\frac{R}{\cot \left( \angle CMO \right)}\)

\(\Rightarrow {{S}_{MEO}}=\frac{1}{2}{{R}^{2}}\left( \frac{1}{\tan \left( \angle CMO \right)}+\frac{1}{\cot \left( \angle CMO \right)} \right)=\frac{1}{2}{{R}^{2}}\left( \frac{1}{\tan \left( \angle CMO \right)}+\tan \left( \angle CMO \right) \right)\)

Mà có \(\angle CMO\) nhọn (do \(\Delta COM\) vuông tại \(C\)) \(\Rightarrow \tan \left( \angle CMO \right)>0\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :\(\frac{1}{\tan \left( \angle CMO \right)}+\tan \left( \angle CMO \right)\ge 2\sqrt{\frac{1}{\tan \left( \angle CMO \right)}.\tan \left( \angle CMO \right)}=2\)

\(\Rightarrow {{S}_{MFE}}=2{{S}_{MEO}}=2.\frac{1}{2}{{R}^{2}}\left( \frac{1}{\tan \left( \angle CMO \right)}+\tan \left( \angle CMO \right) \right)\ge 2{{R}^{2}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{\tan \left( \angle CMO \right)}=\tan \left( \angle CMO \right)\Leftrightarrow \tan \left( \angle CMO \right)=1\Leftrightarrow \angle CMO={{45}^{o}}\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & CO=CM \\ & \angle CMD={{90}^{o}} \\\end{align} \right.\Rightarrow MCOD\) là hình vuông (do có 3 góc vuông và hai cạnh kề nhau bằng nhau).