Giải phương trình: \({x^2} - x - 4 = 2(1 - x)\sqrt...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ với ẩn a = 1 – x , \(b = \sqrt {x - 1} \) rồi đưa bài toán về 2 ẩn a, b lập hệ.

Giải chi tiết:

Giải phương trình: \({x^2} - x - 4 = 2(1 - x)\sqrt {x - 1} \)

Điều kiện xác định: \(x \ge 1\).

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 - x\;\;\left( {a \le 0} \right)\\b = \sqrt {x - 1} \;\;\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1 - 2x + {x^2} + x - 1 = {x^2} - x.\\ \Rightarrow Pt \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4 = 2ab \Leftrightarrow {(a - b)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 2\\a - b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x - \sqrt {x - 1}  = 2\\1 - x - \sqrt {x - 1}  =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 - x = \sqrt {x - 1} \\3 - x = \sqrt {x - 1} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \left( {x + 1} \right) = \sqrt {x - 1} \;\;\;\left( {VN\;\;khi\;\;x \ge 1} \right)\\3 - x = \sqrt {x - 1} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\3 - x \ge 0\\{x^2} - 6x + 9 = x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: \(x = 2.\)

Chọn D.