Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right):\,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình \(\Delta \) vuông góc với d.

Tìm điệu kiện để \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B.

Tìm tọa độ trung điểm I của AB. Để A, B đối xứng nhau qua d thì \(I \in d\).

Giải chi tiết:

Gọi đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(d:\,\,x - 2y - 6 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - 3\) có phương trình : \(\left( \Delta  \right):\,\,y =  - 2x + m\).

Giả sử \(\Delta  \cap \left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó hoành độ của các điểm A, B là nghiệm của phương trình : \(\frac{{x + 4}}{{x - 2}} =  - 2x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2m + 4 = 0\end{array} \right.\)  

Để \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 2m + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m + 3} \right)^2} - 16m - 32 > 0\\8 - 2\left( {m + 3} \right) + 2m + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 10m - 23 > 0\\6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 5 + 4\sqrt 3 \\m < 5 - 4\sqrt 3 \end{array} \right.\,\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \frac{{m + 3}}{2}\\{x_A}{x_B} = m + 2\end{array} \right.\)

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{m + 3}}{4}\\{y_I} = - 2{x_I} + m = - \frac{{m + 3}}{2} + m = \frac{{m - 3}}{2}\end{array} \right.\)

Để A, B đối xứng nhau qua d thì \(I \in d \Rightarrow \frac{{m + 3}}{4} - 2.\frac{{m - 3}}{2} - 6 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\,\,\left( {tm} \right)\) 

Với \(m =  - 3 \Rightarrow 2{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1\\x = 1 \Rightarrow y =  - 5\end{array} \right.\)

Vậy hai điểm cần tìm là \(\left( {1; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right)\).

Chọn B.