a. Tìm các số \(x,\,y\)  thỏa mãn đẳng thức: \(3{x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a. Biến đổi đa thức về các hằng đẳng thức bình phương của một tổng (hiệu), sau đó áp dụng tính chất bình phương của một tổng (hiệu) luôn không âm.

b. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,3{x^2} + 3{y^2} + 4xy + 2x - 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {x + y} \right)^2} = 0\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\forall \,x\\{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\,\forall \,y\\{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\,\forall \,x,\,y\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\,\forall \,x,\,y\)

Do đó đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\\x =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;1} \right).\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}F = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}}\\\;\;\; = \left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{c}{{d + a}}} \right) + \left( {\frac{b}{{c + d}} + \frac{d}{{a + b}}} \right)\\\;\;\; = \frac{{a\left( {d + a} \right) + c\left( {b + c} \right)}}{{\left( {b + c} \right)\left( {d + a} \right)}} + \frac{{b\left( {a + b} \right) + d\left( {c + d} \right)}}{{\left( {c + d} \right)\left( {a + b} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{{a^2} + {c^2} + ad + bc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {d + a} \right)}} + \frac{{{b^2} + {d^2} + ab + cd}}{{\left( {c + d} \right)\left( {a + b} \right)}}.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(x\) và \(y\)  dương ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy.\)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho hai số \(\left( {b + c} \right)\) và \(\left( {d + a} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\left[ {\left( {b + c} \right) + \left( {a + d} \right)} \right]^2} \ge 4\left( {b + c} \right)\left( {a + d} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {b + a} \right)\left( {a + d} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{4}.\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left( {c + d} \right)\left( {a + b} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{4}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F \ge \frac{{{a^2} + {c^2} + ad + bc}}{{\frac{1}{4}\left( {b + c + d + a} \right)}} + \frac{{{b^2} + {d^2} + ab + cd}}{{\frac{1}{4}{{\left( {c + d + a + b} \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ab + bc + cd + ad} \right)}}{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2bd + 2ac} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 2bd - 2ca} \right)}}{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{2{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2} + 2\left[ {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = 2 + \frac{{2\left[ {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - d} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}.\end{array}\)

Ta có: \({\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow F \ge 2.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - c = 0\\b - d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = d\end{array} \right..\)

Vậy \(F \ge 2\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Chọn B.