Cho biểu thức \(P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu số để thực hiện việc rút gọn

 b) Xét hiệu \(P-\sqrt{P}\) để so sánh

c) Thực hiện chia tử số cho mẫu số, từ đó tìm điều kiện của mẫu số để chia hết cho phần dư ở trên tử.

Giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức \(P\)

ĐKXĐ: \(x\ge 0,x\ne 1\)

\(\begin{align}  & P=\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}} \\  & \ \ \ =\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{\left( x-\sqrt{x} \right)+\left( 2\sqrt{x}-2 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}} \\  & \ \ \ =\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}+2 \right).\left( \sqrt{x}-1 \right)}-\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{-\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\  & \ \ =\frac{3x+3\sqrt{x}-3-\left( x-1 \right)-\left( x-4 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{x+3\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\  & \ \ =\frac{\left( x+2\sqrt{x} \right)+\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\  & \ \ =\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}. \\ \end{align}\)

Vậy\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt{P}\) với điều kiện \(\sqrt{P}\) có nghĩa

\(\sqrt{P}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{x}-1>0\ \ \left( do\ \ \sqrt{x}+1>0\ \forall x\ge 0,\ \ x\ne 1 \right)\)

 \(\Leftrightarrow \sqrt{x}>1\Leftrightarrow x>1.\)

Xét hiệu: \(P-\sqrt{P}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow P-\sqrt{P}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\sqrt{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{\sqrt{x}+1}}{\sqrt{\sqrt{x}-1}} \\  & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}}{{{\left( \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-1}. \\ \end{align}\)

Ta có: \(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{x-1} \right)\left( \sqrt{x}-\sqrt{x-1} \right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{x-\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}>0\)

Mà có: \(\sqrt{x}-1>0\) (cmt)

\(\Rightarrow P-\sqrt{P}>0\Rightarrow P>\sqrt{P}\) với mọi \(x>1.\)

c) Tìm \(x\) để \(\frac{1}{P}\) nguyên.

Xét: \(\frac{1}{P}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Để \(\frac{1}{P}\) nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}\) nguyên, suy ra \(\sqrt{x}+1\) là ước của 2. Mà \(\sqrt{x}+1>\)0

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) = \left\{ {1;\;2} \right\}.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 1 = 2\\
\sqrt x + 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 1\\
\sqrt x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy với \(x=0\) thì \(\frac{1}{P}\) nguyên.

Chọn A