Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right).\)

Giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\;\;\forall m\\{m^2} - 2m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3.\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Chọn C.