Tìm tọa độ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\). Từ \(T = {x_0} + {y_0} \Rightarrow {y_0} = T - {x_0}\) thế vào phương trình trên, biện luận để phương trình đó có nghiệm từ đó tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(T,\) thay ngược lại để tìm \(M\)

Giải chi tiết:

Tìm tọa độ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho biểu thức \(T = {x_0} + {y_0}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Vì điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) nên ta có: \({x_0}^2 + {y_0}^2 - 2{x_0} - 4{y_0} + 3 = 0\)   (*)

\(T = {x_0} + {y_0} \Rightarrow {y_0} = T - {x_0}\). Thế vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l}{x_0}^2 + {\left( {T - {x_0}} \right)^2} - 2{x_0} - 4\left( {T - {x_0}} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_0}^2 + 2\left( {1 - T} \right){x_0} + {T^2} - 4T + 3 = 0\;\;\;\left( {**} \right)\end{array}\)

Vì cần tồn tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) nên phương trình (**) phải có nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {1 - T} \right)^2} - 2\left( {{T^2} - 4T + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {T^2} - 6T + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le T \le 5\)

+) Với \(T = 1 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = T - {x_0} = 1 \Rightarrow {M_1}\left( {0;\;1} \right).\)

+) Với \(T = 5 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow 2x_0^2 - 8{x_0} + 8 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = T - {x_0} = 3 \Rightarrow {M_2}\left( {2;\;3} \right).\)

Vậy \(Min\;T = 1\;\;khi\;\;M\left( {0;\;1} \right),\;\;Max\;T = 5\;\;khi\;\;M\left( {2;\;3} \right).\) 

Chọn D.