Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét, tính P theo m.

+) Biến đổi tìm m để P min.

+) Đối chiếu với điều kiện của m rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\) 

\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1-4{{m}^{2}}+4>0\Leftrightarrow 4m<5\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}.\)

Khi đó theo theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m+1 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align}  & P={{\left( {{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( -2m+1 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4{{m}^{2}}-4m+1-2{{m}^{2}}+2 \\  & =2{{m}^{2}}-4m+3=2\left( {{m}^{2}}-2m+1 \right)+1=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1\ge 1 \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\ \ \left( tm \right).\)

Vậy \({{P}_{\min }}=1\) khi \(m=1.\)

Chọn D