Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $AB$, từ mộ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi $E';F'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $MA,MB$

Ta có: $\left\{ \begin{align}  & \frac{AH}{BD}=\frac{{{S}_{\vartriangle AMH}}}{{{S}_{\vartriangle MBD}}}=\frac{HE.MA}{DF'.MB} \\ & \frac{AD}{BH}=\frac{{{S}_{\vartriangle MAD}}}{{{S}_{\vartriangle MBH}}}=\frac{DE'.MA}{HF.MB} \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{AH}{BD}.\frac{AH}{BH}=\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}.\frac{HE.DE'}{DF'.HF'}\text{    }\left( 1 \right)$           

Ta có: $\widehat{EHF}=\widehat{E'DF'}$ ( cùng bù góc $\widehat{AMB}$)

Và $\widehat{HFE}=\widehat{DMF'}$ (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mặt khác $\widehat{DMF'}=\widehat{DE'F'}$ (cùng chắn cung $\overset\frown{DF'}$)

$\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{DE'F'}\Rightarrow \vartriangle HEF\sim \vartriangle DF'E'$

$\Rightarrow \frac{HE}{HF}=\frac{DF'}{DE'}\Rightarrow HE.DE'=HF.DF'\Rightarrow \frac{HE.DE'}{HF.DF'}=1\text{    }\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được: $\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\frac{AH}{BD}.\frac{AD}{BH}$