Cho đường tròn tâm \(O\) và dây cung \(AB\), từ mộ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi \(E';F'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(MA,MB\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & \frac{AH}{BD}=\frac{{{S}_{\vartriangle AMH}}}{{{S}_{\vartriangle MBD}}}=\frac{HE.MA}{DF'.MB} \\ & \frac{AD}{BH}=\frac{{{S}_{\vartriangle MAD}}}{{{S}_{\vartriangle MBH}}}=\frac{DE'.MA}{HF.MB} \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{AH}{BD}.\frac{AH}{BH}=\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}.\frac{HE.DE'}{DF'.HF'}\text{    }\left( 1 \right)\)           

Ta có: \(\widehat{EHF}=\widehat{E'DF'}\) ( cùng bù góc \(\widehat{AMB}\))

Và \(\widehat{HFE}=\widehat{DMF'}\) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mặt khác \(\widehat{DMF'}=\widehat{DE'F'}\) (cùng chắn cung \(\overset\frown{DF'}\))

\(\Rightarrow \widehat{HFE}=\widehat{DE'F'}\Rightarrow \vartriangle HEF\sim \vartriangle DF'E'\)

\(\Rightarrow \frac{HE}{HF}=\frac{DF'}{DE'}\Rightarrow HE.DE'=HF.DF'\Rightarrow \frac{HE.DE'}{HF.DF'}=1\text{    }\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\frac{M{{A}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\frac{AH}{BD}.\frac{AD}{BH}\)