a) Giải phương trình: \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đặt điều kiện và giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

b) Đổi biến: \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right),\) đưa phương trình trùng phương ẩn x về phương trình bậc hai ẩn t.

+) Để phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x\) thì phương trình ẩn t phải có một 1 nghiệm t dương hay phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ac < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\2 - x \ge 0\\6 - x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 2.\)

\(Pt \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {2 - x}  - \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)}  = 1.\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {2 - x}  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = x + 3 + 2 - x + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)}  = 5 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)}  = \frac{{{t^2} - 5}}{2}.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow t - \frac{{{t^2} - 5}}{2} = 1\\ \Leftrightarrow 2t - {t^2} + 5 - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 0\\t - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right)}  = \frac{{{3^2} - 5}}{2} = 2.\\ \Leftrightarrow 6 - x - {x^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}.\)

b) \({x^4} + 5{x^2} + 6 - m = 0\,\,\left( * \right)\)

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\)

Phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {t^2} + 5t + 6 - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để phương trình (*) có đúng hai ngiệm thì phương trình (1) phải có 1 nghiệm dương \( \Leftrightarrow \) (1) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc hai nghiệm kép dương

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ac < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 - m < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{5^2} - 4\left( {6 - m} \right) = 0\\6 - m > 0\\ - 5 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\VN\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 6.\)

Vậy \(m > 6\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.