Hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là tam giá...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tư duy logic để vận dụng kiến thức đã học (định lý Pitago, định lý đảo của định lý Pitago) chứng minh điều cần chứng minh.

Giải chi tiết:

Gọi a là cạnh của hình chóp, M là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác CMA vuông tại M:

            \(\begin{align}  & C{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow C{{M}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}a \right)}^{2}}=\frac{3}{4}{{a}^{2}} \\ & \Rightarrow CM=\frac{\sqrt{3}}{2}a \\\end{align}\)

\(\Rightarrow CH=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a\) (Vì CM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHC vuông tại H:

            \(\begin{align}  & S{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}=S{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow S{{H}^{2}}=S{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}=\frac{2}{3}{{a}^{2}} \\ & \Rightarrow SH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a=\frac{\sqrt{6}a}{3}. \\\end{align}\)

Vì O là trung điểm của SH nên \(OH=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{a\sqrt{6}}{6}.\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OHC vuông tại H:
\(O{{C}^{2}}=C{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{{{a}^{2}}}{6}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

Tương tự: \(O{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

Xét tam giác BOC ta có: \(O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}+\frac{{{a}^{2}}}{2}={{a}^{2}}=B{{C}^{2}}\)

\(\Rightarrow \widehat{BOC}={{90}^{0}}\) (Theo định lý đảo của định lý Pitago)

Tương tự ta chứng minh được: \(\widehat{AOB}=\widehat{COA}={{90}^{0}}\)