Cho \(x > y > 0\) thỏa mãn \(xy = 3\). Tìm G...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết:

\(A = \dfrac{{4{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x - y}}\)\( = \dfrac{{4{{\left( {x - y} \right)}^2} + 8xy + 1}}{{x - y}}\)\( = 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{25}}{{x - y}}\) .

Vì \(x > y > 0\) nên \(x - y > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \(4\left( {x - y} \right)\) và \(\dfrac{{25}}{{x - y}}\).

Ta có: \(A = 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{25}}{{x - y}}\)\( \ge 2\sqrt {4\left( {x - y} \right)\dfrac{{25}}{{x - y}}}  = 20\) .

Dấu “\( = \)” xảy ra \(4\left( {x - y} \right) = \dfrac{{25}}{{x - y}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow x - y = \dfrac{5}{2}\)  (do \(x - y > 0\)).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{5}{2}\\xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + \dfrac{5}{2}\\\left( {y + \dfrac{5}{2}} \right)y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt {73} }}{4}\\y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {73} }}{4}\end{array} \right.\).

Vậy GTNN của \(A\) là \(20\), đạt được khi \(x = \dfrac{{5 + \sqrt {73} }}{4};\,\,\,y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {73} }}{4}\).