Cho \(2019\) điểm trên mặt phẳng, biết rằng trong...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét \(n\) điểm trên trên mặt phẳng:

+) Viết thành: \(n = 2k + 1\)

+) Gọi \(A\) là một điểm bất kì trong \(n\) điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm \(A\) với bán kính bằng \(1\).

+) Xét một điểm khác nằm ngoài đường tròn tâm \(A\) và cũng có bán kính bằng \(1\)

+) Chứng minh \(n\) điểm nằm trong \(1\) trong \(2\) đường tròn đó.

Giải chi tiết:

Ta có: \(2019 = 2.1009 + 1\)

Gọi \(A\) là một điểm trên mặt phẳng trong \(2019\) điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm \(A\) bán kính \(1\).

+) Nếu tất cả \(2018\) điểm còn lại nằm trong hình tròn tâm \(A\) bán kính \(1\) thì ta có đpcm.

+) Giả sử có \(1\) điểm \(B\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {A;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ \(B\) đến tâm \(A\) lớn hơn \(1\), hay \(AB > 1\).

\( \Rightarrow \) Ta vẽ được đường tròn tâm \(B\) bán kính \(1\)

Ta chứng minh \(2019\)điểm đã cho đều nằm trong \(\left( {A;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( {B;\,\,1} \right)\).

Thật vật, lấy điểm \(C\) bất kì, xếp ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) theo giả thuyết \(AB > 1\) nên \(AC < 1\) hoặc \(BC < 1\). Khi đó, \(C\) nằm trong đường tròn \(\left( {A;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( {B;\,\,1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(2019\)điểm nằm trong \(\left( {A;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( {B;\,\,1} \right)\).

Theo nguyên tắc Dirichle, có \(1\) đường tròn chứa ít nhất \(1010\) điểm.