Cho tam giác \(ABC\) \(\left( {AB > AC} \right)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\angle BIK = \angle CDE\), từ đó chứng minh \(BKDI\) là tứ giác nội tiếp.

- Chứng minh \(BK\) và \(EF\) cùng vuông góc với \(AI\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BIK = \angle IAB + \angle IBA\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\angle BAC + \dfrac{1}{2}\angle ABC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\angle BAC + \angle ABC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \angle C} \right)\end{array}\)

(góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Lại có \(CD = CE\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\Delta CDE\) cân tại \(C\).

\( \Rightarrow \angle CDE = \angle CED = \dfrac{{{{180}^0} - \angle C}}{2}\).

\( \Rightarrow \angle BIK = \angle CDE = \angle BDK\) (đối đỉnh). 

\( \Rightarrow BIDK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \widehat {BKI} = \widehat {BDI} = {90^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BI\)) \( \Rightarrow BK \bot KI \Rightarrow BK \bot AI\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(AE = AF\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), \(IE = IF\) (cùng bằng bán kính) nên \(AI\) là đường trung trực của \(EF\), do đó \(AI \bot EF\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BK\parallel EF\) (đpcm).