Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) , đường cao \(B...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn, bằng cách chỉ ra hai cạnh huyền tương ứng bằng nhau, hai góc nhọn tương ứng bằng nhau.

b) Xét hai tam giác \({\Delta _v}ADH;\,\,\,\,\,{\Delta _v}IKH\) chứng minh hai tam giác này bằng nhau, rồi suy ra \(IK = AD\)(hai cạnh tương ứng bằng nhau)

c) Chứng minh \(DK;\,AI\) cùng vuông góc với \(BH\)

d) Nhớ lại:  trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao. Ta chứng minh hai đường cao của tam giác HBC cắt nhau tại N.

Giải chi tiết:

a) \(\Delta BHK = \Delta BHD\)

Vì BK là đường cao của tam giác \(\Delta ABC\) nên \(BK \bot AC\)

Xét hai tam giác vuông \(BHK\) và \(\Delta BHD\) ta có :

\(\angle {B_1} = \angle {B_2}\) (do BH là đường phân giác của góc \(\angle ABK\left( {H \in AC} \right).\))

Cạnh BH chung

\( \Rightarrow \Delta BHK = \Delta BHD\) (cạnh huyền-góc nhọn)

b) Gọi giao điểm của \(DH\) và \(BK\) là \(I\) . Chứng minh : \(IK = AD.\)

Vì \(\Delta BHK = \Delta BHD\)nên \(HK = HD\) (cạnh tương ứng)

Xét \({\Delta _v}ADH;\,\,\,\,\,{\Delta _v}IKH\)

Có: \(\angle DHA = \angle KHI\) (đối đỉnh)

           \(HK = HD\)(cmt)

     \(\angle ADH = \angle IKH = {90^0}\)

\( \Rightarrow {\Delta _v}ADH = \,\,{\Delta _v}IKH\) (g.c.g)

\(IK = AD\) (cạnh tương ứng)

c) Chứng minh \(DK//AI\)

Trong tam giác \(ABC\) có:

\(\begin{array}{l}AB = AD + DB\\BI = BK + KI\end{array}\)

Mà \(AD = IK\,\) (do \(\Delta ADH = \Delta IKH\left( {cmt} \right)\) )

\(DB = BK\)(do \(\Delta BHK = \Delta BHD\))

\( \Rightarrow AB = BI\)

\( \Rightarrow \Delta ABI\) là tam giác cân tại B. \( \Rightarrow \angle BAI = \angle BIA\)

Trong một tam giác cân, tia phân giác ứng với cạnh đáy chính là đường cao

\( \Rightarrow BH \bot AI\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \(\Delta BDK\) cũng cân tại B (do \(BD = BK\left( {do\,\Delta BDH = \Delta BKH} \right)\)

\( \Rightarrow BH \bot DK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (do BH là đường phân giác góc B)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DK//AI\) (do cùng vuông góc với \(BH\) )  

Vậy \(DK//AI\) (đpcm).

d) Xét tam giác \(HBC\) ta có:

\(BK \bot HC\left( {Gt} \right) \Rightarrow BK\) là đường cao xuất phát từ đỉnh \(B\) của tam giác \(HBC\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}DI \bot AB\left( {GT} \right)\\BC \bot AB\left( {gt} \right)\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \angle DIB = \angle KBC\,\left( {so\,le\,trong} \right)\\ \Rightarrow DI//BC\end{array}\)

Mà :

\(\begin{array}{l}\angle C + \angle KBC = {90^0}\\\angle DBI + \angle DIB = {90^0}\\ \Rightarrow \angle C = \angle DBI\\ \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {B_2} = \angle {C_1} = \angle {C_2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Kéo dài CN cắt BH tại P, ta chứng minh CP là đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác \(HBC\)

Ta có : \(\begin{array}{l}\angle C + \angle KBC = {90^0}\\\angle {C_1} + \angle {C_2} + \angle KBC = {90^0}\end{array}\)

Mà \(\angle {C_2} = \angle {B_2}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle {C_1} + \angle KBC + \angle {B_2} = \angle BPC = {90^0}\) Hay \(CP \bot CH\)

Trong tam giác \(HBC\) có : CN là đường cao, BN là đường cao.

\( \Rightarrow \) N là trực tâm của \(\Delta HBC\) (đpcm).