Cho  phương trình : \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp \(a=0\) và \( a \ne 0\), giải phương trình trong mỗi trường hợp đó.

Giải chi tiết:

1)  Ta chứng minh: “Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = 1\)”

TH1: \(a = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\b{x_0} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - b\\b{x_0} - b = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(b = c = 0 \Rightarrow 0{x_0} - 0 = 0\), phương trình có vô số nghiệm.

Nếu \(b \ne 0 \Rightarrow {x_0} = \dfrac{b}{b} = 1 \Rightarrow {x_0} = 1\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(a \ne 0\). Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Vì \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow b =  - a - c \Rightarrow \Delta  = {\left( { - a - c} \right)^2} - 4ac = {a^2} + 2ac + {c^2} - 4ac = {\left( {a - c} \right)^2}\).

Nếu \(a = c \Rightarrow \Delta  = 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm kép \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{a + c}}{{2a}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1\)

Nếu \(a \ne c \ne \Delta  > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{a + c + a - c}}{{2a}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1\\{x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{a + c - a + c}}{{2a}} = \dfrac{{2c}}{{2a}} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x = 1\).

Ngược lại với \(x = 1\) thay vào phương trình \(a{x^2} + bx + c = a + b + c = 0\).

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình thì \(a + b + c = 0\), điều ngược lại đúng.

2) Ta chứng minh : “Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x =  - 1\)”

TH1: \(a = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - b + c = 0\\b{x_0} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = b\\b{x_0} + b = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(b = c = 0 \Rightarrow 0{x_0} + 0 = 0\), phương trình có vô số nghiệm.

Nếu \(b \ne 0 \Rightarrow {x_0} = \dfrac{{ - b}}{b} =  - 1 \Rightarrow {x_0} =  - 1\) là nghiệm của phương trình.

TH2: \(a \ne 0\). Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Vì \(a - b + c = 0 \Leftrightarrow b = a + c \Rightarrow \Delta  = {\left( {a + c} \right)^2} - 4ac = {a^2} + 2ac + {c^2} - 4ac = {\left( {a - c} \right)^2}\).

Nếu \(a = c \Rightarrow \Delta  = 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm kép \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - a - c}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2a}}{{2a}} =  - 1\).

Nếu \(a \ne c \ne \Delta  > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{ - a - c + a - c}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2c}}{{2a}} = \dfrac{{ - c}}{a}\\{x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \dfrac{{ - a - c - a + c}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2a}}{{2a}} =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x =  - 1\).

Ngược lại với \(x =  - 1\) thay vào phương trình \(a{x^2} + bx + c = a - b + c = 0\).

Vậy \(x =  - 1\) là nghiệm của phương trình thì \(a - b + c = 0\), điều ngược lại đúng.