Tồn tại \(a,b\) để phương trình \({x^4} - 4{x^3} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nếu phương trình \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm kép phân biệt \(p,\,\,q\) thì \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = a{\left( {x - p} \right)^2}{\left( {x - q} \right)^2}\).

+) Sau đó, ta sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tìm ra kết quả của bài toán.

Giải chi tiết:

Giả sử phương trình ban đầu có hai nghiệm kép phân biệt là \({x_1} = p,{x_2} = q\,\,\,\left( {p \ne q} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^4} - 4{x^3} + \left( {a + 4} \right)x + b = {\left( {x - p} \right)^2}{\left( {x - q} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + \left( {a + 4} \right)x + b = \left( {{x^2} - 2px + {p^2}} \right)\left( {{x^2} - 2qx + {q^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + \left( {a + 4} \right)x + b = {x^4} - 2\left( {p + q} \right){x^3} + \left( {{p^2} + 4pq + {q^2}} \right){x^2} - 2pq\left( {p + q} \right)x + {p^2}{q^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2\left( {p + q} \right) =  - 4}\\{{p^2} + 4pq + {q^2} = 0}\\{ - 2pq\left( {p + q} \right) = a + 4}\\{{p^2}{q^2} = b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}p + q = 2\\{\left( {p + q} \right)^2} + 2pq = 0\\ - 4pq = a + 4\end{array}\\{{p^2}{q^2} = b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p + q = 2\\2pq =  - 4\\ - 4pq = a + 4\\{p^2}{q^2} = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p + q = 2\\pq =  - 2\\a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 8.\end{array}\)

Chọn  C.