Chứng minh rằng : \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \r...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu đa thức : \(f\left( x \right) = ax + b\) có ít nhất 2 nghiệm thì \(a = b = 0\) tức là \(f\left( x \right) = 0\) với mọi x.

Giải chi tiết:

Đặt

\(\begin{array}{l}P(x) = \frac{{xb}}{{\left( {c + x} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{xc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + x} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)}} + \frac{{2xbc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}\end{array}\)

Xét tử số \(f\left( x \right) = xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)\) có hệ số của \({x^2}\) là \(b + c - \left( {b + c} \right) = 0\) \( \Rightarrow \) Bậc của \(f\left( x \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( b \right) = {b^2}.2b + bc\left( {b + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2{b^2}c - 2b.{\left( {b + c} \right)^2} = 0\\f\left( c \right) = cb\left( {c + b} \right) + 2{c^3} + bc\left( {b + c} \right) + 2b{c^2} - 2c\left( {c + b} \right)\left( {b + c} \right) = 0\end{array} \right.\)

Do đó b, c là 2 nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Bậc của \(f\left( x \right)\) nhỏ hơn hoặc bằng 1, trong khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) lại có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \equiv 0\,\,\forall x\) hay \(P\left( x \right) = 0\,\,\forall x\).

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \frac{{xb}}{{\left( {c + x} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{xc}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + x} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)}} + \frac{{2xbc}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1\\P\left( x \right) = \frac{{xb\left( {x + b} \right) + xc\left( {x + c} \right) + bc\left( {b + c} \right) + 2xbc - \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 0\\ \Rightarrow P\left( a \right) = \frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\end{array}\)

Vậy \(\frac{{ab}}{{\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} + \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} = 1\)