Giải phương trình \(\cos \frac{{4x}}{3} = {\cos ^2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Công thức hạ bậc 2 và bậc 3 :  \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\\\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\end{array} \right.\)

+) Quy về  phương trình bậc ba 1 ẩn.

+) Giải hàm lượng giác cơ bản : \(\cos x = \cos a \Leftrightarrow x =  \pm a + k2\pi \)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;cos\frac{{4x}}{3} = co{s^2}x \Leftrightarrow cos\frac{{4x}}{3} = \frac{{1 + cos2x}}{2} \Leftrightarrow 2cos2.\frac{{2x}}{3} = 1 + cos3.\frac{{2x}}{3}\\ \Leftrightarrow 2\left[ {2co{s^2}\frac{{2x}}{3} - 1} \right] = 1 + 4co{s^3}\frac{{2x}}{3} - 3cos\frac{{2x}}{3}\\ \Leftrightarrow 4co{s^3}\frac{{2x}}{3} - 4co{s^2}\frac{{2x}}{3} - 3cos\frac{{2x}}{3} + 3 = 0\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt: \(\cos \frac{{2x}}{3} = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4{t^3} - 4{t^2} - 3t + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{t^2}\left( {t - 1} \right) - 3\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {4{t^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {2t - \sqrt 3 } \right)\left( {2t + \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\2t - \sqrt 3  = 0\\2t + \sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\left( {tm} \right)\\t = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}cos\frac{{2x}}{3} = 1\\cos\frac{{2x}}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\cos\frac{{2x}}{3} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{3} = k2\pi \\\frac{{2x}}{3} =  \pm \frac{\pi }{6} + m2\pi \\\frac{{2x}}{3} =  \pm \frac{{5\pi }}{6} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{4} + m3\pi \\x =  \pm \frac{{5\pi }}{4} + l3\pi \end{array} \right.\;\;\;\left( {k,\;m,\;l \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn A