Phương trình \(8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dùng cách biến đổi\(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cos \left( {x - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {\cos \alpha  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l}8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}}\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x.\cos x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow 8\cos x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow 8\cos x - 8{\cos ^3}x = \sqrt 3 \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow 6\cos x - 8{\cos ^3}x = \sqrt 3 \sin x - \cos x\\ \Leftrightarrow 2\left( {3\cos x - 4{{\cos }^3}x} \right) = \sqrt 3 \sin x - \cos x\\ \Leftrightarrow 2.\left( { - \cos 3x} \right) = \sqrt 3 \sin x - \cos x\\ \Leftrightarrow 2\cos 3x = \cos x - \sqrt 3 \sin x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \cos x.\cos \frac{\pi }{3} - \sin x.\sin \frac{\pi }{3} = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 3x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} =  - 3x + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{m\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các nghiệm đều thuộc \(\left[ {0;\;10\pi } \right]\) ta được:

\(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi  \le 10\pi  \Leftrightarrow  - 0,17 \le k \le 9,83 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,....;\,\,9} \right\}\\0 \le  - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{m\pi }}{2} \le 10\pi  \Leftrightarrow 0,167 \le m \le 20,17 \Leftrightarrow m \in \left\{ {1;\,\,2;....;\,20} \right\}\end{array} \right.\)

Có 30 nghiệm thõa mãn.

Chọn B.