Phương trình \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nhóm nhân tử sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và đặt nhân tử chung

\(\begin{array}{l}\,\;\;\;\;\,\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\\ \Leftrightarrow \sin 3x + \left( {\sin x + \sin 5x} \right) = \cos 3x + \left( {\cos x + \cos 5x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 3x + 2\sin 3x\cos 2x = \cos 3x + 2\cos 3x\cos 2x\end{array}\)

+) Xác định trên miên cần tìm các giá trị để \(\tan x > 0\)

 \(x \in \left( {0;\pi } \right),\,\tan x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\\ \Leftrightarrow \sin 3x + \left( {\sin x + \sin 5x} \right) = \cos 3x + \left( {\cos x + \cos 5x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 3x + 2\sin 3x\cos 2x = \cos 3x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 + 2\cos 2x} \right) = \cos 3x\left( {1 + 2\cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = \cos 3x\\\cos 2x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\2x = \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \\2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + m\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x \in \left( {0;\pi } \right),\,\tan x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), xét:

\(\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\\0 < \frac{\pi }{3} + m\pi  < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} < m < \frac{1}{6} \Leftrightarrow m = 0\\0 <  - \frac{\pi }{3} + l\pi  < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < l < \frac{5}{6} \Leftrightarrow l \in \emptyset \end{array}\)

Phương trình có 3 nghiệm thõa mãn.

Chọn A.