Tổng các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{\sin...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình tích nhờ các công thức: \(\sin \left( {x - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos x;\;\;\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4} - x} \right) =  - \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right).\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow 8\cos 2x - 3\sin 2x.sinx = 3sin2x.\cos x - 7\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 8\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) - 3\sin 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) + 7\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left[ {8(\cos x - \sin x) - 3\sin 2x + 7} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\quad \quad (1)\\8(\cos x - \sin x) - 3\sin 2x + 7 = 0\quad (2)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \\ \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \;\;\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Giải phương trình (2) : Đặt  \(t = \cos x - \sin x\;\;\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow {t^2} = 1 - \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}\;\;\;\left( * \right)\)              (2) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow 8t - 3\left( {1 - {t^2}} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} + 8t + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\;\;\left( {ktm} \right)\\t =  - \frac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\arcsin \frac{5}{9} + m\pi \\x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \frac{5}{9} + l\pi \end{array} \right.\;\left( {m,\;k \in Z} \right)\end{array}\)                

Phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {\pi ;\;2\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\pi  \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \frac{5}{4} \le k \le \frac{9}{4} \Leftrightarrow k = 2\\\pi  \le \frac{1}{2}\arcsin \frac{5}{9} + m\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow 0,906 < m < 1,906 \Leftrightarrow m = 1\\\pi  \le \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \frac{5}{9} + l\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow 0,59 \le l \le 1,5937 \Leftrightarrow l = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm thõa mãn.

Chọn A.