Cho hai đường thẳng \(d:\,\,2x + 3y - 1 = 0,\,\,\D...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta .\)

+) Gọi điểm \(B\) bất kì thuộc \(d.\)

+) Khi đó tìm được điểm \(C \in \Delta \)  là điểm đối xứng của \(B\) qua \(m \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A.\)  

\( \Rightarrow m\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC.\)  

Giải chi tiết:

Gọi \(A\) là giao điểm của  \(d\) và \(\Delta .\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 1 = 0\\3x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y =  - \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{7}{5}; - \frac{3}{5}} \right).\)

Lấy \(B\left( { - 1;\,\,1} \right) \in d.\) Gọi \(C\left( {a;\,\,\frac{{3 - 3a}}{2}} \right) \in \Delta \) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(m \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A.\)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = AC \Leftrightarrow {\left( { - 1 - \frac{7}{5}} \right)^2} + {\left( {1 + \frac{3}{5}} \right)^2} = {\left( {a - \frac{7}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - 3a}}{2} + \frac{3}{5}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{144}}{{25}} + \frac{{64}}{{25}} = {a^2} - \frac{{14}}{5}a + \frac{{49}}{{25}} + \frac{9}{4}{a^2} - \frac{{63}}{{10}}a + \frac{{441}}{{100}}\\ \Leftrightarrow \frac{{13}}{4}{a^2} - \frac{{91}}{{10}}a - \frac{{39}}{{20}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a =  - \frac{1}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{C_1}\left( {3;\, - 3} \right)\\{C_2}\left( { - \frac{1}{5};\,\,\frac{9}{5}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

\(d\) đối xứng với \(\Delta \) qua \(m \Rightarrow m\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC \Rightarrow m\) nhận  \(\overrightarrow {BC} \) làm VTPT.

+) Với \({C_1}\left( {3; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {4;\, - 4} \right) = 4\left( {1; - 1} \right).\)

\( \Rightarrow m:\,\,x - \frac{7}{5} - y - \frac{3}{5} = 0 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0.\)

+) Với \({C_1}\left( { - \frac{1}{5};\,\,\frac{9}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {\frac{4}{5};\,\,\frac{4}{5}} \right) = \frac{4}{5}\left( {1;\,\,1} \right).\)

\( \Rightarrow m:\,\,x - \frac{7}{5} + y + \frac{3}{5} = 0 \Leftrightarrow x + y - \frac{4}{5} = 0.\)

Chọn  C.