Cho $a,b,c$ là các số không âm và thỏa mãn \({a^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm ${a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}$.

Giải chi tiết:

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 4 - abc \le 4 \Rightarrow S \le 4$

$4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}}$  (*)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có ${a^2}{b^2}{c^2} \le \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}$

Từ (*) $\Rightarrow 4 \le {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}}  \Leftrightarrow S + \sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}}  \ge 4$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}}  \ge 4 - S \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - S \ge 0\\\dfrac{{{S^3}}}{{27}} \ge {\left( {4 - S} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\{S^3} - 27{S^2} + 216S - 432 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\\left( {S - 3} \right){\left( {S - 12} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \le 4\\S \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le S \le 4\end{array}$

Vậy ${S_{\min }} = 3,\,\,{S_{\max }} = 4$.

Chọn D.