Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho hai véc tơ \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) 

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow a  = m.\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = m\left( {4;\,\,1} \right) + \left( {1;\,\,4} \right) = \left( {4m + 1;\,\,m + 4} \right)}\\{\overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;\,\,1} \right)}\end{array}} \right.\)

Yêu cầu bài toán thoả mãn \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 .\sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 \ge 0}\\{25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\8{m^2} - 34m + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m =- \dfrac{1}{4}\\m = -4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Chọn C.