Cho $\Delta ABC$ cân tại \(A\,\left( {\angle A &...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn.

b) Chỉ ra $\Delta BHC$ là tam giác cân với hai góc ở đáy bằng nhau.

c) Dựa vào mối liên hệ giữa các đường trong tam giác để so sánh các đoạn thẳng: HB và HD.

d) Các đường đồng quy trong tam giác, dựa vào các tính chất và dấu hiệu đã học để chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta ABD\& \Delta ACE$ có:     $\angle ADB = \angle ACE = {90^0}\left( {gt} \right)$

                                                $\begin{array}{l}BA = AC\left( {gt} \right)\\\angle BAC\,\,\,chung\end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Có $\Delta ABD = \Delta ACE \Rightarrow \angle ABD = \angle ACE$ (hai góc tương ứng)

Mặt khác: $\angle ABC = \angle ACB$ ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABC - \angle ABD = \angle ACB - \angle ACE\\ \Rightarrow \angle HBC = \angle HCB\end{array}$

$\Rightarrow \Delta BHC$ là tam giác cân tại H

c) Có $\Delta HDC$ vuông tại $D$ nên $HD < HC$

mà $HB = HC$ ($\Delta BHC$ cân tại H)

$\Rightarrow HD < HB$

d) Gọi $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$

Xét $\Delta BNH$ và $\Delta CMH$ có :

$BH = CH\,$($\Delta BHC$ cân tại H)

$\angle BH{\rm N} = \angle CHM$ (đối đỉnh)

${\rm N}H = HM\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \Delta B{\rm N}H = \Delta CMH\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle HB{\rm N} = \angle HCM$

+) Lại có : $\angle HBC = \angle HCB\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \angle HBC + \angle HB{\rm N} = \angle HCB + \angle HCM \Rightarrow \angle IBC = \angle ICB$

$\Rightarrow \Delta IBC$ cân tại $I \Rightarrow IB = IC\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác ta có : $AB = AC\,$ ($\Delta ABC$ cân tại A).   (2)

$HB = HC$ ($\Delta BHC$ cân tại H)    (3)

Từ (1), (2), (3)

$\Rightarrow$ 3 điểm $I;A;H$ cùng nằm trên đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow I;A;H$ thẳng hàng

$\Rightarrow$ các đường thẳng $B{\rm N};AH;CM$ đồng quy.