Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AN và...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác ANCM có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác MNKC là hình bình hành có một góc vuông.

c) Chứng minh tứ giác MNKC là hình thang cân có hai đái song song và hai cạnh bên bằng nhau.

d) Chứng minh các đường thẳng PN, AC, KM là 3 đường trung tuyến trong \(\Delta AKP\).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác ANCM là hình bình hành.

Xét \(\Delta ADN\) và \(\Delta CBM\) có:

\(\angle AND = \angle CMB = {90^o}\) (AN và CM cùng vuông góc với BD);

\(AD = BC\) (ABCD là hcn)

\(\angle ADN = \angle CBM\) (hai góc so le trong)

\( \Rightarrow \Delta ADN = \Delta CBM\;\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow AN = CM\)  (2 cạnh tương ứng)

Mặt khác AN // CM (cùng vuông góc với BD) \( \Rightarrow ANCM\)  là hình bình hành

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua N. Chứng minh MNKC là hình chữ nhật.

Có K là điểm đối xứng với điểm A qua N \( \Rightarrow AN = NK\) mà \(AN = CM\) (cmt) \( \Rightarrow NK = CM\)

Kết hợp NK // CM (cùng vuông góc với BD) \( \Rightarrow \) MNKC là hình bình hành (dhnb)

Mà \(\angle CMN = {90^o}\;\left( {CM \bot BD} \right) \Rightarrow MNKC\) là hình chữ nhật (dhnb).

c) Tứ giác DKCB là hình gì? Tại sao?

Ta có: KC // MN (MNKC là hình chữ nhật) \( \Rightarrow KC//BD.\)

\( \Rightarrow DKCB\) là hình thang.

Có K là điểm đối xứng với điểm A qua N \( \Rightarrow \) N là trung điểm của AK (tính chất).

Mà \(DN \bot AK\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow DN\) là đường trung trực của \(AK \Rightarrow DA = DK\) (tính chất)

Lại có \(DA = BC\) (ABCD là hcn) \( \Rightarrow DK = BC\)

Vậy DKCB là hình thang cân (dhnb)

d) Tia AM cắt tia KC tại P. Chứng minh các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy.

Ta có N là trung điểm của AK (cmt) \( \Rightarrow \) PN là trung tuyến ứng với cạnh AK trong \(\Delta AKP\)  (1)

Ta có MN // KC (MNKC là hình chữ nhật) \( \Rightarrow \) MN // KP

Mà N là trung điểm của AK (cmt) \( \Rightarrow \) M là trung điểm của AP

\( \Rightarrow \) KM là trung tuyến ứng với cạnh AP trong \(\Delta AKP\)  (2)

Mặt khác NC // AM (ANCM là hình bình hành) \( \Rightarrow \) NC // AP

Mà N là trung điểm của AK (cmt) \( \Rightarrow \) C là trung điểm của KP

\( \Rightarrow \) AC là trung tuyến ứng với cạnh KP trong \(\Delta AKP\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \) các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy (là 3 đường trung tuyến trong \(\Delta AKP\))