Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp: Lập hệ trục tọa độ và viết phương trình \(2\)  mặt phẳng, sau đó tính góc giữa \(2\) vectơ pháp tuyến

Giải chi tiết:

Cách giải

Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O \equiv A',Ox \equiv A'D',Oy \equiv A'A,Oz \equiv A'B'\)

Tọa độ các điểm \(D'\left( {3;0;0} \right),A\left( {0;4;0} \right),B'\left( {0;0;2} \right),D\left( {3;4;0} \right),C'\left( {3;0;2} \right)\)

Phương trình mặt phẳng  \(\left( {AB'D'} \right):\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 6z = 12\) nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4;3;6} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {A'C'D} \right)\)  có VTPT:

\(\overrightarrow {{n_2}}  = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {A'D} ;\overrightarrow {A'C'} } \right] = \dfrac{1}{2}\left( {8; - 6; - 12} \right) = \left( {4; - 3; - 6} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {4.4 - 3.3 - 6.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {6^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \dfrac{{29}}{{61}}\)

\( \Rightarrow \alpha  = \arccos \dfrac{{29}}{{61}} \approx 61,6^\circ \)

Chọn đáp án A