Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right) \) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d’ để xác định thiết diện của hình chóp.

- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.

- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình chữ nhật.

Giải chi tiết:

Tam giác SBD cân tại S nên SB = SD.

Suy ra \(\Delta SBC = \Delta SDC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {SCB} = \widehat {SCD}\).

Gọi I là trung điểm của SC.

Xét hai tam giác IBC và ICD có:

IC chung

BC = DC (ABCD là hình vuông)

\(\widehat {ICB} = \widehat {ICD}\,\left( {cmt} \right)\)

Do đó \(\Delta IBC = \Delta IDC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IB = ID\) hay tam giác \(IBD\) cân tại \(I\).

Do O là trung điểm của BD nên IO là đường trung tuyến trong tam giác cân \( \Rightarrow IO \bot BD.\)

Mà SA // IO nên \(SA \bot BD.\)

Ta có: \(\left\{ \matrix{  M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) \hfill \cr   BD\parallel \left( \alpha  \right) \hfill \cr   BD \subset \left( {ABCD} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) với (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với BD cắt AB tại Q \( \Rightarrow MQ\parallel BD.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \matrix{  Q \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right) \hfill \cr   SA\parallel \left( \alpha  \right) \hfill \cr   SA \subset \left( {SAB} \right) \hfill \cr}  \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) với (SAB) là đường thẳng đi qua Q và song song với SA cắt SB tại P. Do đó QP // SA (2).

Ta có: \(\left\{ \matrix{  P \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBD} \right) \hfill \cr   BD\parallel \left( \alpha  \right) \hfill \cr   BD \subset \left( {SBD} \right) \hfill \cr}  \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) với (SBD) là đường thẳng đi qua P và song song với BD cắt SO tại N. Do đó PN // BD (3).

Ta có: \(\left\{ \matrix{  \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAC} \right) = MN \hfill \cr   SA\parallel \left( \alpha  \right) \hfill \cr   SA \subset \left( {SAC} \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow MN\parallel SA.\) (4).

Từ (1) và (3) suy ra PN // MQ // BD, từ (2) và (4) suy ra QP // MN // SA. Do đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có \(SA \bot BD \Rightarrow MN \bot MQ\).

Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Chọn C.