Tính tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\sin 3x}\), sau đó sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t=\cos x\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\sin 3x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{3\sin x-4{{\sin }^{3}}x}=\dfrac{\sin x}{3-4{{\sin }^{2}}x}=\dfrac{\sin x}{3-4\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}=\dfrac{\sin x}{4{{\cos }^{2}}x-1}\)

Khi đó ta có : \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin x}{4{{\cos }^{2}}x-1}dx}\)

Đặt \(t=\cos x\) ta có : \(dt=-\sin xdx\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right.\) , khi đó ta có :

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\dfrac{{ - dt}}{{4{t^2} - 1}}}  = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{dt}}{{\left( {2t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right)}}} \\\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {\dfrac{1}{{2t - 1}} - \dfrac{1}{{2t + 1}}} \right)dt} \\\,\,\,\, = \left. {\dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{2t - 1}}{{2t + 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \dfrac{1}{4}\ln \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\\c =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b + 3c = 5\)

Chọn D.