Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng \({d_1}:3x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm B và D (ẩn b và d)

+) Xác định tọa độ trung điểm I của BD.

+) \(I \in {d_3} \Rightarrow \) tìm mối liên hệ giữa 2 ẩn b và d.

+) \(\overrightarrow {BD}  \bot {\overrightarrow u _{AC}} \Rightarrow \) tìm mối liên hệ giữa 2 ẩn b và d.

+) Giải hệ phương trình tìm b và d.

+) Tham số hóa tọa độ điểm A và C, tìm các mối liên hệ để tìm tọa độ A và C.

Giải chi tiết:

Gọi \(B\left( {b;3b - 4} \right),D\left( {d; - d + 6} \right)\)

Gọi I là trung điểm của BD \( \Rightarrow I\left( {\frac{{b + d}}{2};\frac{{3b - d + 2}}{2}} \right)\).

Vì ABCD là hình thoi nên I cũng là trung điểm của AC \( \Rightarrow I \in {d_3} \Rightarrow \frac{{b + d}}{2} = 3 \Leftrightarrow b + d = 6\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\overrightarrow {BD}  = \left( {d - b; - d - 3b + 10} \right);{\overrightarrow u _{AC}}\left( {0;1} \right),\overrightarrow {BD} .{\overrightarrow u _{AC}} = 0 \Leftrightarrow  - d - 3b + 10 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;2} \right);D\left( {4;2} \right) \Leftrightarrow I\left( {3;2} \right)\)

Gọi \(A\left( {3;a} \right),C\left( {3;c} \right)\,\,\,\left( {a \ne c} \right)\), I là trung điểm của AC nên \(a + c = 4 \Rightarrow a = 4 - c\)

ABCD là hình thoi có \(\widehat {BAD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow A{B^2} = A{C^2}\)

\(\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2},A{C^2} = {\left( {c - a} \right)^2}\\\Rightarrow {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} = {\left( {c - a} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 5 = {a^2} - 2ac + {c^2} \Leftrightarrow  - 4a + 5 =  - 2ac + {c^2}\\ \Leftrightarrow  - 4\left( {4 - c} \right) + 5 =  - 2\left( {4 - c} \right)c + {c^2}\\ \Leftrightarrow  - 16 + 4c + 5 =  - 8c + 2{c^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow 3{c^2} - 12c + 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{6 - \sqrt 3 }}{3}\\c = \frac{{6 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.