Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho \(A(0;2;...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P) Nếu A, B khác phía với (P) thì  MA+MB min khi A, B, M thẳng hàng. Nếu A, B cùng phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có MA+MB=MA’+MB. Khi đó  MA+MB min khi A’, B, M thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Ta có \(({{x}_{A}}+{{y}_{A}}+{{z}_{A}})({{x}_{B}}+{{y}_{B}}+{{z}_{B}})=(0+2+1)(2+0+4)>0\)

Suy ra A, B cùng phía với (P)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

\({\rm{AA':}}\left\{ \begin{array}{l}{\rm{AA}}' \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (1;1;1)\\A(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{AA}}':\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) ta có  .

Suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\\3t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\\z = 0\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow H( - 1;1;0)\)

Vì H là trung điểm AA’ nên ta có \(A'(-2;0;-1)\)

Ta có: \(AM+MB=A'M+MB\ge A'B\Rightarrow {{\min }_{(AM+MB)}}=A'B\)\(\Rightarrow \) A’,B,M thẳng hàng\(\Rightarrow M=A'B\cap (P)\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'B} (4;0;5)\\B(2;0;4)\end{array} \right. \Rightarrow A'B:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 0\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 0\\z = 4 + 5t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 0\\z = 4 + 5t\\9t + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{2}{3}\\y = 0\\z = \frac{2}{3}\\t =  - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{3};0;\frac{2}{3}} \right)\)

Chọn C