Cho \(0<x<y<1\). Đặt \(m=\frac{1}{y-x}\l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức đã cho theo \(m\) sau đó xét hàm đặc trưng và đánh giá các trường hợp xảy ra theo \(m\).

Giải chi tiết:

Ta có \(m=\frac{1}{y-x}\left( \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x} \right)\,\,\left( * \right)\) với \(0<x<y<1\).

+) Xét hàm \(f\left( t \right) = \ln \dfrac{t}{{1 - t}}\,\,\left( {0 < t < 1} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{t}{{1 - t}}}} = \dfrac{1}{{t\left( {1 - t} \right)}} > 0\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\).

\(\Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( 0;1 \right)\)nên với \(y>x\) thì \(f\left( y \right)>f\left( x \right)\)\(\Leftrightarrow \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x}>0\)\(\Rightarrow \frac{1}{y-x}\left( \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x} \right)\,\,>0\Rightarrow m>0\).

+) Ta có \(\left( * \right)\Rightarrow \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x}=my-mx\Leftrightarrow mx-\ln \frac{x}{1-x}=my-\ln \frac{y}{1-y}\).(1)

Xét hàm đặc trưng \(g\left( u \right)=mu-\ln \frac{u}{1-u},\,\,0<u<1\).

Ta có \({g}'\left( u \right)=m-\frac{1}{u\left( 1-u \right)}=\frac{-m{{u}^{2}}+mu-1}{u\left( 1-u \right)}=\frac{h\left( u \right)}{u\left( 1-u \right)}\).

Vì \(m>0\)(cmt) nên \(h\left( u \right)\) là tam thức bậc hai và vì \(0<u<1\) nên \(u\left( 1-u \right)>0\)\(\Rightarrow \) dấu của \({g}'\left( u \right)\) là dấu của \(h\left( u \right)\).

Nếu \({{\Delta }_{h\left( u \right)}}\le 0\) \(\Rightarrow h\left( u \right)\le 0\Rightarrow {g}'\left( u \right)\le 0\) hay \(g\left( u \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left( 0;1 \right)\)nên \(g\left( x \right)=g\left( y \right)\Leftrightarrow x=y\)(mâu thuẫn giả thiết \(x<y\)).

 Nên (1) chỉ xảy ra khi \(h\left( u \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;1 \right)\).

Xét phương trình \(h\left( u \right)=0\Leftrightarrow -m{{u}^{2}}+mu-1=0\Leftrightarrow mu\left( 1-u \right)=1\Leftrightarrow m=\frac{1}{u\left( 1-u \right)}\) (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;1 \right)\).

Xét \(\varphi \left( u \right)=\frac{1}{u\left( 1-u \right)},\,0<u<1\) có \({\varphi }'\left( u \right)=\frac{2u-1}{{{\left( u-{{u}^{2}} \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow u=\frac{1}{2}\left( TM \right)\).

BBT của \(\varphi \left( u \right)\) trên \(\left( 0;1 \right)\).

Từ BBT  để (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;1 \right)\) thì \(m>4\).

Chọn A.