Cho điểm A cố định trên đường tròn (O), bán kính R...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí sin trong tam giác ABC.

b) Chứng minh hai tam giác ADK và ACB đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Giải chi tiết:

a) Ta có: Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC thì:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{{AC}}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{{AB}}{{2R}}\\ \Rightarrow \sin C.\sin B = \frac{{AB.AC}}{{4{R^2}}} = \frac{{2\sqrt 2 {R^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}}.\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có:

\(AD.AB = A{H^2} = AK.AC \Rightarrow \Delta ADK \sim \Delta ACB\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

2 tam giác này đồng dạng theo 1 tỉ số k sao cho: \(k = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AK}}{{AB}} \Rightarrow {k^2} = \frac{{AD}}{{AC}}.\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{{S_{ADK}}}}{{{S_{ABC}}}}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}AD.AB = A{H^2} = AK.AC \Rightarrow AD.AB.AK.AC = A{H^4}\\ \Rightarrow \frac{{AD.AK}}{{AC.AB}} = \frac{{A{H^4}}}{{{{\left( {AC.AB} \right)}^2}}} = \frac{{4{R^4}}}{{8{R^4}}} = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Từ đây ta có điểu phải chứng minh.