Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Đặt \(AB=x\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow \)\(SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}{3}}.\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, có \(SB=\frac{BC}{\tan \widehat{BSC}}=a\sqrt{3}.\)

Tam giác SAB vuông tại A, có \(S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{B}^{2}}\).

\(\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}{3}+{{x}^{2}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=8{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}.\)

Kẻ \(DH\bot AM\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot DH\\AM \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SAM} \right)\).

\(\Rightarrow d\left( D;\left( SAM \right) \right)=DH\)

Xét \(\Delta AMD\) vuông tại \(D\), có \(\frac{1}{D{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{M{{D}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\).

\(\Rightarrow DH=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( D;\left( SAM \right) \right)=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Chọn A.