Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định thiết diện của mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C',\,\,BC.\)

Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(EC',\,\,BF.\)

Suy ra \(NP\)//\(A'E\); \(MQ\)//\(AF\) mà

\(\left\{ \begin{array}{l}A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\\AF \bot \left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( {MNPQ} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right).\)

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kéo dài \(MQ\) cắt \(AC\) tại \(G\).

Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\) nối \(NG\) cắt \(AA'\) tại \(H\).

Do đó, \(mp\,\,\left( \alpha  \right)\) cắt hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) theo thiết diện là ngũ giác \(MHNPQ.\)

Ta có : \({S_{MNHPQ}} = {S_{HMN}} + {S_{MNPQ}}\).

Ta có \(MNPQ\) là hình bình hành có \(\angle MQP = {90^0}\), do đó \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

Mặt khác \(NP = MQ = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4};\) \(PQ = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{3a}}{2}.\)

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = MQ.PQ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AMH = \Delta A'NH\) (hai cạnh góc vuông) nên \(HM = HN\), suy ra \(\Delta HMN\) cân tại \(H\).

Ta có : \(HM = \sqrt {A{H^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(MN\) ta có \(HK \bot MN\) và \(MK = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}PQ = \dfrac{{3a}}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(HMK\) ta có :

\(HK = \sqrt {H{M^2} - K{M^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {S_{HMN}} = \dfrac{1}{2}HK.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\).

Vậy \({S_{MHNPQ}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\).

Chọn C.