Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết:

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {2\sqrt x  + {3 \over {\root 3 \of x }}} \right)^{20}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{20} {C_{20}^k} .{\left( {2\sqrt x } \right)^{20\, - \,k}}.{\left( {{3 \over {\root 3 \of x }}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{20} {C_{20}^k} {.2^{20\, - \,k}}{.3^k}.{x^{{{20\, - \,k} \over 2}}}.{x^{ - \,{k \over 3}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{20} {C_{20}^k} {.2^{20\, - \,k}}{.3^k}.{x^{{{60\, - \,5k} \over 6}}}.\)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \({{60 - 5k} \over 6} = 0 \Leftrightarrow k = 12\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,\) Số hạng cần tìm là \(C_{20}^{12}{.2^8}{.3^{12}}.\)

Chọn C