Cho các số thực x,y thỏa mãn \(x+y=1,\,\,{{x}^{3}}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+)  Phân tích hằng đẳng thức bậc 3 để có thêm dữ kiện.

+) Áp dụng phương pháp thêm bớt để quy về các hằng đẳng thức

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 2xy - xy} \right]\\ = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right].\end{array}\)

Mà \(x+y=1;\,\,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=2\)\(\Rightarrow 1\left( {{1}^{2}}-3xy \right)=2\Leftrightarrow 1-3xy=2\Leftrightarrow 3xy=-1\Leftrightarrow xy=-\frac{1}{3}.\)

Vậy \(M=xy=-\frac{1}{3}.\)

b, Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 1 - 2\left( { - \frac{1}{3}} \right) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}.\\N\left( {x + y} \right) = \left( {{x^5} + {y^5}} \right)\left( {x + y} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^6} + {x^5}y + x{y^5} + {y^6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {\left( {{y^2}} \right)^3} + xy\left( {{x^4} + {y^4}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - {x^2}{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right] + xy\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^{^2}} + 2{x^2}{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{3}.\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2{x^2}{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] - \frac{1}{3}\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2}} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{3}.\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 3{{\left( {xy} \right)}^2}} \right] - \frac{1}{3}\left[ {{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2} - 2.{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{3}.\left[ {{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2} - 3.{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}} \right] - \frac{1}{3}.\frac{{23}}{9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{3}.\frac{{22}}{9} - \frac{{23}}{{27}} = \frac{{29}}{9}.\\ \Rightarrow N = \frac{{29}}{9}:\left( {x + y} \right) = \frac{{29}}{9}.\end{array}\)

 Vậy\(N = {x^5} + {y^5} = \frac{{29}}{9}.\)

Chọn B