Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}+4\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điểm cực trị và tính độ dài \(OA,OB\) để suy ra diện tích tam giác \(OAB.\)

Giải chi tiết:

Ta có\(y' = 3{x^2} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..\)  

Ta có \(y''=6x-6,\,\,y''\left( 0 \right)=-6<0,\,y''\left( 2 \right)=6>0.\) Do đó \(A\left( 0;4 \right),\,B\left( 2;0 \right)\) tương ứng là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có \(\overrightarrow{OB}=\left( 2;0 \right),\,\,\overrightarrow{OA}=\left( 0;4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{OB}.\,\overrightarrow{OA}=\left( 2;0 \right).\left( 0;4 \right)=0.\) Vì vậy \(OA\bot OB.\) Ta lại có \(OA=\sqrt{{{0}^{2}}+{{4}^{2}}}=4,\,OB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=2.\) Do đó diện tích \(\Delta OAB\) là \(S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.4.2=4.\)

Chọn đáp án B.