Cho nửa đường tròn \((O;R)\)đường kính AB. Một đi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các cặp tam giác tương ứng đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và tích các cạnh cần tính.

Giải chi tiết:

 *Hình vẽ (0,5đ)

a/ Vì \(\widehat{AEB}={{90}^{\circ }}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)); nên \(\widehat{AEB}+\widehat{BMH}={{90}^{\circ }}+{{90}^{\circ }}={{180}^{\circ }}\) \(\Rightarrow \) Tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn đường kính BH.

b/Vì CM và AE là hai đường cao của tam giác ABC nên H là trực tâm của tam giác ABC, suy ra BH là đường cao thứ ba của tam giác ABC, hay \(BH\bot AC\)(3)

Mà \(\widehat{ADB}={{90}^{\circ }}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) \(\Rightarrow BD\bot AC\)(4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow BH\equiv BD\)hay B, H, D thẳng hàng (đpcm)

c/Ta có \(\widehat{AMC}=\widehat{ADB}={{90}^{\circ }};\widehat{MAC}=\widehat{DAB}\)(góc chung) \(\Rightarrow \Delta AMC\sim \Delta ADB(g.g)\Rightarrow AD.AC=AM.AB=2R.AM\)(5)

Mặt khác \(\Delta ABN\)vuông tại N, có NM là đường cao nên \(B{{N}^{2}}=BM.BA=2R.BM\)(6)

Cộng (5) và (6) theo vế ta có: \(B{{N}^{2}}+AD.AC=2R.AM+2R.BM=2R(AM+BM)\)

Hay \(B{{N}^{2}}+AD.AC=2R.AB=2R.2R=4{{R}^{2}}\).

d/ Vì tứ giác AKHC nội tiếp nên \(\widehat{MKH}=\widehat{MCA}\) (cùng bù với \(\widehat{AKH}\)).

Mà \(\widehat{MCA}=\widehat{MBH}\)(cùng phụ với \(\widehat{CAB}\)) suy ra \(\widehat{MKH}=\widehat{MBH}\Rightarrow \Delta BKH\)cân tại H, lại có \(HM\bot BK\Rightarrow MK=MB\)không đổi. \(\Rightarrow BK=2.MB\): không đổi.

Vậy, khi E di động trên cung NB thì độ dài đoạn BK = 2. MB không đổi.

Chọn B