Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right),\left( ABC \right)\( bởi định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V=\frac{1}{3}Sh\).

Giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Dễ thấy \(\Delta SAB=\Delta SAC\left( c.g.c \right)\) nên \(\Delta SBC\) cân tại \(S\).

Do đó \(SE\bot BC\), ta có: \(\left\{ \begin{align}  & SE\bot BC \\  & AE\bot BC \\  & \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{SEA}={{60}^{0}}\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Tam giác vuông \(SAE\) có \(\widehat{SEA}={{60}^{0}}\) nên: \(SA=AE.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}\) .

Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\)

Chọn C.