Cho biểu thức \(M=\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho biểu thức \(M=\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\,\,\left( x>y>0 \right)\)

a) Rút gọn M.

\(\begin{align}  & M=\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\,\,\left( x>y>0 \right) \\  & M=\frac{y}{\sqrt{x}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)}+\frac{x}{\sqrt{y}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}} \\ & M=\frac{y\sqrt{y}\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)+x\sqrt{x}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)-\left( x+y \right)\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{xy}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)} \\  & M=\frac{{{y}^{2}}+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}-{{x}^{2}}-\left( x+y \right)\left( y-x \right)}{\sqrt{xy}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)} \\  & M=\frac{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+\sqrt{xy}\left( x+y \right)-{{y}^{2}}+{{x}^{2}}}{\sqrt{xy}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{y}+\sqrt{x} \right)} \\  & M=\frac{x+y}{y-x} \\ \end{align}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(N={{x}^{2}}-\frac{M}{y\left( x+y \right)}\,\,\left( x>y>0 \right)\)

\(\begin{align}  & N={{x}^{2}}-\frac{M}{y\left( x+y \right)}\,\,\left( x>y>0 \right) \\  & N={{x}^{2}}-\frac{x+y}{\left( y-x \right)y\left( x+y \right)} \\  & N={{x}^{2}}+\frac{1}{y\left( x-y \right)} \\ \end{align}\)

Ta có

Chọn D