Cho hình hộp chữ nhật

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}A{D}^2+D{C}^2=3\\ A{D}^2+D{D^{\text{'}}}^2=5\\ D{C}^2+D{D^{\text{'}}}^2=4\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AD=\sqrt{2}\\ DC=1\\ D{D}^{\text{'}}=\sqrt{3}\end{array}\right.$

Diện tích$S_{AC{D}^{\text{'}}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$, $S_{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vì $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình chiếu vuông góc của $AC{D}^{\text{'}}$lên $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$ 

nên $S_{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{AC{D}^{\text{'}}}.\cos \alpha$$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{S_{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}{S_{AC{D}^{\text{'}}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$.

Từ đó $\tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.