Tìm số nguyên dương n sao cho

A

- Hướng dẫn giải

Xét khai triển

$$\begin{gathered} {\left(1+x\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^{1}x+C_{2n+1}^2{x}^2+C_{2n+1}^3{x}^3 \\ +C_{2n+1}^4{x}^4+...+C_{2n+1}^{2n+1}{x}^{2n+1} \end{gathered}$$

Lấy đạo hàm cả hai vế ta được

$$\begin{gathered} \left(2n+1\right)x^{2n}=C_{2n+1}^1-2x{C}_{2n+1}^2+3x^2{C}_{2n+1}^3 \\ -4x^3.C_{2n+1}^4+..+\left(2n+1\right)x^{2n}{C}_{2n+1}^{2n+1} \end{gathered}$$

Thay x = -2 vào ta được

$$\begin{gathered} \left(2n+1\right)x^{2n}=C_{2n+1}^1+2x.2.C_{2n+1}^2+3x^2{C}_{2n+1}^3 \\ -4x^3{C}_{2n+1}^4+..+\left(2n+1\right)x^{2n}{C}_{2n+1}^{2n+1} \end{gathered}$$

Kết hợp với giả thiết bài toán ta được: $2n+1=2019\iff n=2019$

Vậy n = 1009 là giá trị cần tìm

Đáp án A