Số hạng không chứa x trong khai triển

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $C_n^3+2n=A_{n+1}^2\iff \frac{n!}{\left(n-3\right)!.3!}+2n=\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\iff \frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}+2n=\left(n+1\right)n$ 

$\iff \left(n-1\right)\left(n-2\right)+12=6\left(n+1\right)\iff n^2-9n+8=0\iff [\begin{array}{l}n=8\\ n=1\end{array}\Rightarrow n=8.$ 

Khi đó ${\left(2x-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{16}=\sum _{k=0}^{16}{C}_{16}^k{\left(2x\right)}^{16-k}{\left(-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^k=\sum _{k=0}^{16}{C}_{16}^k{\left(2\right)}^{16-k}{\left(-3\right)}^k{x}^{16-\frac{4}{3}k}.$ 

Số hạng không chứa x $\iff 16-\frac{4}{3}k=0\iff k=12\Rightarrow k=12\Rightarrow a_{12}=C_{16}^{12}{2}^4{(-3)}^{12}.$