Cho số phức

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi  $M\left(x;y\right)$là điểm biểu diễn số phức $z_1$. Khi đó ${\left|z_1-2\right|}^2-{\left|z_1+i\right|}^2=1$

$\begin{array}{l}\iff {\left(x-2\right)}^2+y^2-x^2-{\left(y+1\right)}^2=1\\ \iff -4x-2y+2=0\\ \iff 2x+y-1=0\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $z_1$ là đường thẳng $\Delta :2x+y-1=0$.

Gọi $N\left(a;b\right)$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$  . Khi đó $\left|z_2-4-i\right|=\sqrt{5}$$\iff {\left(a-4\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2=5$

Suy ra tâp hợp các điểm N biểu diễn số phức  $z_2$là đường tròn $\left(C\right):{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$ có tâm  $I\left(4;1\right)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.

Nhận thấy  $d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|2.4+1-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}$$=\frac{8\sqrt{5}}{5}>\sqrt{5}=R$nên đường thẳng $\Delta$ và đường tròn (C)  không cắt nhau.

Lại có $\left|z_1-z_2\right|=\left|\left(x-a\right)+\left(y-b\right)i\right|$$=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}=MN$. Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N}_{\min }\iff MN=d\left(I;\Delta \right)-R$  . Vậy ${\left|z_1-z_2\right|}_{\min }=\frac{8\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}$$=\frac{3\sqrt{5}}{5}$  .