Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Từ giả thiết, suy ra $5^{x+2y}+\frac{1}{3^{xy-1}}+x+1=5^{xy-1}+\frac{1}{3^{x+2y}}+xy-2y$ 

$\iff 5^{x+2y}-\frac{1}{3^{x+2y}}+\left(x+2y\right)=5^{xy-1}-\frac{1}{3^{xy-1}+(xy-1)}$ (1)

Xét hàm số $f\left(t\right)=5^t-\frac{1}{3^t+t}$ trên $\mathrm{ℝ}$.

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)=5^t.\ln 5+\frac{\ln 3}{3^t}+1>0,\forall t\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow$hàm số f (t) luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Suy ra $\left(1\right)\iff f(x+2y)=f(xy-1)\iff x+2y=xy-1\iff x+1=y(x-2)$

$y=\frac{x+1}{x-2}$

Do $y>0$ nên $\frac{x+1}{x-2}>0\iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x<-1\end{array}\right.$ . Mà x > 0 nên x > 2.

Từ đó $T=x+y=x+\frac{x+1}{x-2}$. Xét hàm số $g\left(x\right)=x+\frac{x+1}{x-2}$ trên $\left(2;+\infty \right)$.

Đạo hàm $g\text{'}\left(x\right)=1-\frac{3}{{\left(x-2\right)}^2}>0,g\text{'}\left(x\right)=0\iff {(x-2)}^2=3$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3} \left(tm\right)\\ x=2-\sqrt{3} \left(L\right)\end{array}\right.$. Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left(2;+\infty \right)$, ta thấy $min g\left(x\right)=g(2+\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$.

Vậy $T_{min}=3+2\sqrt{3}$ khi $x=2+\sqrt{3}$ và $y=1+\sqrt{3}$.